Question

设一正方形边长为1，取各边的中点连成一个新的正方形，记其面积为a₁，然后在得到的新正方形中，再连接各边中点，又得到一个新正方形，记其面积为a₂，按此方法依次做下去…
（1）求a₁和a₂；
（2）记a_n为第n次得到的正方形面积，写出关于a_n的表达式（不必证明）；
（3）求经过n次后所得n个正方形的面积之和．

Answer 1

考点：数列与函数的综合

专题：计算题,作图题,等差数列与等比数列

分析：由题意作出图形辅助，
（1）由图形直接可写出a₁和a₂；
（2）由图可知新正方形的面积是上一个正方形面积的一半，故a_n=

1

2n

；
（3）由题意，利用等比数列前n项和公式求S=1-

1

2n

．

解答： 解：（1）由图及题意可得，
a₁=

1

2

，a₂=

1

4

；
（2）由题意可得，
a_n=

1

2n

；
（3）S=

1

2

+

1

4

+

1

8

+…+

1

2n

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=1-

1

2n

．

点评：本题考查了学生的想象力及等比数列的通项及前n项和公式应用，属于中档题．