Question

设函数f（x）是定义在[-1，0）∪（0，1]上的偶函数，当x∈[-1，0）时，f（x）=x³-ax（a是实数）．
（1）当x∈（0，1]时，求f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）在（0，1]上是增函数，求实数a的取值范围；
（3）是否存在实数a，使得当x∈（0，1]时，f（x）有最大值1．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,函数解析式的求解及常用方法,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）直接利用函数的奇偶性求解当x∈（0，1]时，f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）在（0，1]上是增函数，利用函数的导数，通过导数大于0，即可求实数a的取值范围；
（3）通过实数a≥3，利用函数的单调性，求出最值判断是否满足题意；0＜a＜3时，求出函数的导数，判断函数使得当x∈（0，1]时，的单调性求出最大值为1，求出a的值；当a≤0时，判断f（x）无最大值．得到结论．

解答： 解：（1）设x∈（0，1]则-x∈[-1，0）-----------------------（1分）
所以f（-x）=（-x）³-a（-x）=-x³+ax-----------（2分）
因为f（x）是偶函数，所以f（-x）=f（x）-----------------（3分）
所以f（x）=-x³+ax，x∈（0，1]-------------------（4分）
（2）当x∈（0，1]时，f′（x）=-3x²+a，3x²∈（0，3]．
所以-3x²∈[-3，0）
因为f（x）在（0，1]上是增函数，所以-3x²+a≥0-------------（6分）
所以a的取值范围是[3，+∞）---------------------------（7分）
（3）（i）当a≥3时，由（2）知f（x）在区间（0，1]上是增函数
所以f_max（x）=f（1）=a-1，可得a=2不合题意，舍去
（ii）当0＜a＜3时，在区间（0，1]上，f′（x）=-3x²+a．
令f′（x）=0，x=

a 3

-----------------------（8分）
由下表

x	(0， a 3 )	a 3	( a 3 ，1)
f′（x）	+	0	-
f（x）	增	极大值	减

f（x）在x=

a 3

处取得最大值-----------------（9分）
f_max（x）=(-

a 3

)3-a（-

a 3

）=1-----------（10分）
所以a=

3	27 4

=

3

2

3	2

-----------------------（11分）
注意到0＜

3

2

3	2

＜3，所以0＜

a

3

＜3，

a 3

∈(0，1)符合题意-------------（12分）
（iii）当a≤0时，在区间（0，1]上，f′（x）=-3x²+a≤0，
所以f（x）为减函数，无最大值--------------（13分）
综上所述，存在a=

3

2

3	2

使得当x∈（0，1]时，f（x）有最大值1、

点评：本题考查函数的导数的应用，分类讨论思想的应用，函数的奇偶性的判断与应用，考查转化思想以及计算能力．