Question

【题目】已知a>0，a≠1且loga3>loga2，若函数f(x)＝logax在区间[a,3a]上的最大值与最小值之差为1.

（1）求a的值；

（2）若1≤x≤3，求函数y＝(logax)2－loga＋2的值域．

Answer 1

【答案】（1）a＝3 （2）.

【解析】

（1）根据loga3>loga2，判断出的范围，根据题意，解对数方程即可求得；

（2）利用换元法，即可求得对数型二次函数的值域.

（1）因为loga3>loga2，所以f(x)＝logax在[a,3a]上为增函数．

又f(x)在[a,3a]上的最大值与最小值之差为1，

所以loga(3a)－logaa＝1，即loga3＝1，所以a＝3.

（2）函数y＝(log3x)2－log3＋2

＝(log3x)2－log3x＋2

＝2＋.

令t＝log3x，因为1≤x≤3，

所以0≤log3x≤1，即0≤t≤1.

所以y＝2＋∈，

所以所求函数的值域为.