Question

利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过凼数图象直观验证：
（1）sinx＜x，x∈（0，π）
（2）x-x²＞0，x∈（0，1）
（3）e^x＞1+x，x≠0
（4）lnx＜x＜e^x，x＞0．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,函数的图象

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：分别构造函数，求出函数的单调性，求出函数最值，由单调性可证，并画出函数的图象，通过图象直接观察

解答： 证明：（1）令f（x）=sinx-x，x∈（0，π），
∴f′（x）=cosx-1＜0恒成立，
∴函数f（x）在（0，π）为减函数，
∴f（x）＜f（0）=sin0-0=0
∴sinx-x＜0，
如图，y=sinx为蓝色曲线，y=x为红色直线，由图可以观察x∈（0，π），sinx＜x

（2）令f（x）=x-x²（0＜x＜1），
f（x）的图象开口向下，对称轴为x=

1

2

∴f（x）在（0，

1

2

]上递增，在（

1

2

，1）上递减，
∴x∈（0，1）时，f（x）＞f（0）=f（1）=0，
故x-x²＞0（0＜x＜1）．
如图所示：

（3）令f（x）=e^x-1-x，
∴f′（x）=e^x-1，
令f′（x）=e^x-1=0，解得x=0，
当x＞0时，函数f（x）单调递增，
当x＜0时，函数f（x）单调递减，
∴当x=0时，函数有最小值，最小值为f（0）=0，
∴f（x）＞f（0），
∴e^x＞1+x，x≠0
如图y=x+1为蓝色曲线，y=e^x为红色直线，由图可以观察x≠0，e^x＞1+x，

（4）设f（x）=lnx-x，
∴f′（x）=

1

x

-1=

1-x

x

，
令f′（x）=0，解得x=1，
当0＜x＜1，函数f（x）单调递增，
当x＞1时，函数f（x）单调递减，
∴当x=1时，函数有最大值，最大值为f（1）=-1，
∴f（x）＜f（1），
∴lnx＜x，
再设g（x）=e^x-x
∴g′（x）=e^x-1，
∵g′（x）=e^x-1＞0，在（0，+∞）上恒成立，
∴g（x）＞g（0）=0
∴e^x＞x，
综上所述lnx＜x＜e^x，
如图y=x为蓝色曲线，y=e^x为红色直线，y=lnx为蓝色曲线，由图可以观察x＞0，lnx＜x＜e^x，

点评：本题考查函数的单调性及其应用，考查不等式的证明及函数的图象，属中档题．