Question

某高中进行高中生歌唱比赛，在所有参赛成绩中随机抽取100名学生的成绩，按成绩分组：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示．现在组委会决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试．
（1）求3，4，5组各应该抽取多少人进入第二轮面试；
（2）学校决定在（1）中抽取的这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，设第3组中有ξ名学生被考官D面试，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,频率分布直方图,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（1）由频率分布直方图分别求出第三组、第四组、第五组的频率，从而求出3，4，5组各有30，20，10人，由此能求出3，4，5组各应该抽取多少人进入第二轮面试．
（2）由（1）可得6人中有3人是第三组的，所以ξ=0，1，2，由超几何分布原理可得：P（ξ=k）=

C k 3 C 2-k 3

C 2 6

，k=0，1，2，由此能求出ξ的分布列和数学期望．

解答： 解：（1）由频率分布直方图可得第三组的频率是0.06×5=0.3，…（1分）
第四组的频率是0.04×5=0.2，…（2分）
第五组的频率是0.02×5=0.1，…（3分）
则3，4，5组各有30，20，10人．
第三组应抽取：

30

60

×6=3人，…4分
第四组应抽取：

20

60

×6=2人，…5分
第五组应抽取：

10

60

×6=1人．…（6分）
（2）由（1）可得6人中有3人是第三组的，所以ξ=0，1，2，…（7分）
由超几何分布原理可得：P（ξ=k）=

C k 3 C 2-k 3

C 2 6

，k=0，1，2，
ξ的分布列为

ξ	0	1	2
P	1 5	3 5	1 5

…（10分）
期望：Eξ=0×

1

5

+1×

3

5

+2×

2

5

=1．…（12分）

点评：本题考查分层抽样、频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意超几何分布原理的合理运用．