Question

一篮球运动员投篮的命中率为60%，以η表示他首次投中时累计已投篮的次数，则η的数学期望是

 

．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：通过分析题目中的条件可知，事件{η=k}表示该运动员共投篮k次，第k次投中且前k-1次均未投中，所以该事件发生的概率为P（η=n）=

0.4×0.4×…×0.4

n-1个

×0.6，由此利用错位相减法求和并取极限，能求出η的数学期望．

解答： 解：设随机变量η表示运动员首次投中时累计已投篮的次数，
因为运动员投中的概率为0.6，故投不中的概率为1-0.6=0.4，
由题意知η服从几何分布，
∴P（η=n）=

0.4×0.4×…×0.4

n-1个

×0.6=0.4^n-1•0.6，
∴Eη=1×0.6+2×0.4×0.6+3×0.4²×0.6+…+n×0.4^n-1×0.6，①
0.4Eη=1×0.4×0.6+2×0．42 ×0.6+3×0．43×0.6+…+n×0.4ⁿ×0.6，②
①-②，得0.6Eη=0.6+0.4×0.6+0.4²×0.6+0.4³×0.6+…+0.4^n-1•0.6-n×0.4ⁿ×0.6，
∴Eη=1+0.4+0.4²+0.4³+…+0.4^n-1-n×0.4ⁿ
=

1-0．4n

1-0.4

-n×0.4ⁿ，
∴Eη=

lim

n→∞

(

1-0．4n

1-0.4

-n×0．4n)=

1

1-0.4

=

5

3

．
故答案为：

5

3

．

点评：本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意几何分布的性质和错位相减法求和并取极限的合理运用．