Question

已知函数f（x）=ax（x-1）²+1，（x∈R）和函数g（x）=（2-a）x³+3ax²-ax，（x∈R）
（Ⅰ）令h（x）=f（x）+g（x），若函数h（x）在[1，+∞）上存在单调递减区间，求实数a的取值范围．
（Ⅱ）当a＜0时，若F（x）=f（x）+a有极大值-7，求实数a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）对函数h（x）求导，利用函数h（x）在[1，+∞）上存在单调递减区间，则说明h'（x）＜0有解．
（Ⅱ）利用函数F（x）=f（x）+a有极大值-7，可求实数a的值．

解答：解：（Ⅰ）∵h（x）=f（x）+g（x）=2x³+ax²+1．
∴h'（x）=6x²+2ax，…（2分）
由题意要使函数h（x）在[1，+∞）上存在单调递减区间，h'（x）＜0在[1，+∞）上有解．
∵h'（x）=6x²+2ax=0，解得x=0或x=-

a

3

．
由图象可知当-

a

3

＞1（图④正确），解得a＜-3．
（Ⅱ）F（x）=f（x）+a=ax（x-1）²+a+1，
所以F'（x）=a（3x²-4x+1），令F'（x）=0，得3x²-4x+1=0，解得x=1或x=

1

3

．
列表：

x	（-∞， 1 3 ）	1 3	（ 1 3 ，1）	1	（1，+∞）
F'（x）	-		+		-
F（x）	递减	极小值	递增	极大值a+1	递减

∴F（x）在x=1处取得极大值-7，即a+1=-7，解得a=-8．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值的问题，属于常考题型要求熟练掌握．