Question

15．曲线$\left\{{\begin{array}{l}{x=asecα}\\{y=btanα}\end{array}}\right.$（α为参数）与曲线$\left\{{\begin{array}{l}{x=atanβ}\\{y=bsecβ}\end{array}}\right.$（β为参数）的离心率分别为e₁和e₂，则e₁+e₂的最小值为2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 化简极坐标方程为普通方程，求出双曲线和它的共轭双曲线的离心率分别为e₁和e₂，然后利用双曲线的性质探索e₁和e₂的关系．

解答 解：∵曲线$\left\{{\begin{array}{l}{x=asecα}\\{y=btanα}\end{array}}\right.$（α为参数）化为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，与曲线$\left\{{\begin{array}{l}{x=atanβ}\\{y=bsecβ}\end{array}}\right.$（β为参数）化为：$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}=1$，e₁=$\frac{c}{a}$，e₂=$\frac{c}{b}$，$\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{e}_{2}}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{c}^{2}}$=1，∴e₁e₂≥2，∴e₁+e₂≥2$\sqrt{{e}_{1}{e}_{2}}$=2$\sqrt{2}$．
故答案为：$2\sqrt{2}$．

点评 本题考查极坐标与普通方程的互化，考查双曲线的简单性质以及基本不等式的应用，考查计算能力．