Question

10．过原点作圆x²+y²+2x-4y+4=0的割线，交圆于A，B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 设中点为M （x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设割线方程为：y=kx，代入x²+y²-4y+2x+4=0，得（1+k²）x²+（2-4k）x+4=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式能求出弦AB的中点M的轨迹方程．

解答 解：设中点为M （x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
设割线方程为：y=kx
代入x²+y²-4y+2x+4=0得：
（1+k²）x²+（2-4k）x+4=0
x₁+x₂=$\frac{4k-2}{1+{k}^{2}}$，
∴弦AB的中点M的横坐标x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{2k-1}{1+{k}^{2}}$，
把k=$\frac{y}{x}$代入得：x=$\frac{\frac{2y}{x}-1}{1+\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}}}$，
整理，得：x²+y²+x-2y=0．
∴弦AB的中点M的轨迹方程：x²+y²+x-2y=0．

点评 本题考查线段的中点的轨迹方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质、韦达定理、中点坐标公式的合理运用．