Question

已知f（x）=lnx，g（x）=

1

2

ax²-

1

2

ax，a∈R．
（Ⅰ）当a=2时，求F（x）=f（x）-g（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x≥1时，xf（x）≤g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）当a=2时，F（x）=lnx-x²+x，x＞0，利用导数求出单调区间，
（Ⅱ）分离参数数，x≥1时，xf（x）≤g（x）恒成立，转化为a≥

2lnx

x-1

，设h（x）=

2lnx

x-1

，再利用数形结合的思想，求出最大值为h（1）=2，故求出a的范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx，g（x）=

1

2

ax²-

1

2

ax，a∈R．
当a=2时，
∴F（x）=f（x）-g（x）=lnx-x²+x，x＞0，
∴F′（x）=

1

x

-2x+1=-

(2x+1)(x-1)

x

令F′（x）=0，解得x=1，
当0＜x＜1时，F′（x）＜0，函数F（x）为减函数，
当x＞1时，F′（x）＞0，函数F（x）为增函数，
故函数F（x）的单调增区间为[1，+∞），单调减区间为（0，1）
（Ⅱ）∵当x≥1时，xf（x）≤g（x）恒成立，
∴xf（x）-g（x）≤0恒成立，
即xlnx-（

1

2

ax²-

1

2

ax）≤0恒成立，
∴a≥

2lnx

x-1

，
设h（x）=

2lnx

x-1

，
∴h′（x）=

2(x-1-xlnx)

x(x-1)2

再设m（x）=x-1-xlnx，
∴m′（x）=1-（lnx+1）=-lnx＜0，
∴m（x）=x-1-xlnx在[1，+∞）为减函数，
∴m（x）=x-1-xlnx有最大值，最大值为m（1）=1-1-ln1=0，
∴h′（x）=

2(x-1-xlnx)

x(x-1)2

≤0，
∴h（x）=

2lnx

x-1

在[1，+∞）为减函数，
∴h（x）有最大值，最大值为h（1）=2，
∴a≥2，
故实数a的取值范围是[2，+∞）

点评：本题主要考查了导数与函数的单调性，参数的取值范围的问题，分离参数法，是参数的常用方法，属于中档题．