Question

设{a_n}为公比q＞1的等比数列，若a₂₀₀₆和a₂₀₀₇是方程4x²-8x+3=0的两根，则a₂₀₀₈+a₂₀₀₉=

 

．

Answer 1

考点：等比数列的性质

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：先利用一元二次方程的根与系数的关系得到以a₂₀₀₆+a₂₀₀₇=2，a₂₀₀₆•a₂₀₀₇=

3

4

；再把所得结论用a₂₀₀₆和q表示出来，求出q；最后把所求问题也用a₂₀₀₆和q表示出来即可的出结论．

解答： 解：设等比数列的公比为q．
∵a₂₀₀₆和a₂₀₀₇是方程4x²-8x+3=0的两个根
∴a₂₀₀₆+a₂₀₀₇=2，a₂₀₀₆•a₂₀₀₇=

3

4

．
∴a₂₀₀₆（1+q）=2    ①
a₂₀₀₆•a₂₀₀₆•q=

3

4

  ②
∴①²÷②：

(1+q)2

q

=

16

3

，
∵q＞1，∴解得q=3．
∴a₂₀₀₈+a₂₀₀₉=a₂₀₀₆•q²+a₂₀₀₆•q³
=a₂₀₀₆•（1+q）•q²=2×3²=18．
故答案为：18．

点评：本题主要考查一元二次方程的根的分布与系数的关系以及等比数列的性质．在解决本题的过程中用到了整体代入的思想，当然本题也可以求出首项和公比再代入计算．