Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=

1

2

，S_n=n²a_n-n（n-1），n=1，2，…
（1）证明：数列{

n+1

n

S_n}是等差数列，并求S_n；
（2）设b_n=

Sn

n3+3n2

，求证：b₁+b₂+…+b_n＜

5

12

．

Answer 1

考点：数列的求和,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件得S_n=n²（S_n-S_n-1）-n（n-1），从而

n2-1

n(n-1)

Sn=

n2

n(n-1)

Sn-1+1，由此能证明数列{

n+1

n

S_n}是首项为1，公差为1的等差数列，从而得到S_n=n×

n

n+1

=

n2

n+1

．
（2）由b_n=

Sn

n3+3n2

=

n2

n+1

×

1

n2(n+3)

=

1

(n+1)(n+3)

=

1

2

(

1

n+1

-

1

n+3

)，利用裂项求和法能证明b₁+b₂+…+b_n＜

5

12

．

解答： （1）证明：∵数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=

1

2

，S_n=n²a_n-n（n-1），
∴n≥2时，有a_n=S_n-S_n-1，
∴S_n=n²（S_n-S_n-1）-n（n-1），
∴（n²-1）S_n=n²S_n-1+n（n-1），
∴

n2-1

n(n-1)

Sn=

n2

n(n-1)

Sn-1+1，
∴

n+1

n

Sn=

n

n-1

Sn-1+1，
又

2

1

S1=

2

1

a1=1，
∴数列{

n+1

n

S_n}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴

n+1

n

Sn=1+（n-1）×1=n，
∴S_n=n×

n

n+1

=

n2

n+1

．
（2）b_n=

Sn

n3+3n2

=

n2

n+1

×

1

n2(n+3)

=

1

(n+1)(n+3)

=

1

2

(

1

n+1

-

1

n+3

)，
∴b₁+b₂+…+b_n=

1

2

（

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+

1

4

-

1

6

+…+

1

n+1

-

1

n+3

）
=

1

2

(

1

2

+

1

3

-

1

n+2

-

1

n+3

)
=

1

2

(

5

6

-

1

n+2

-

1

n+3

)
=

5

12

-(

1

n+2

+

1

n+3

)＜

5

12

．
∴b₁+b₂+…+b_n＜

5

12

．

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的前n项和的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．