Question

已知向量

m

=（cos

x

2

，-1），

n

=（

3

sin

x

2

，cos²

x

2

），设函数f（x）=

m

•

n

+

1

2

（1）若x∈[0，

π

2

]，f（x）=

3

3

，求cosx的值；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足2bcosA≤2c-

3

a，求f（B）的取值范围．

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的求值

分析：（1）利用平面向量的数量积的坐标运算可求得f（x）=sin（x-

π

6

），依题意易求cos（x-

π

6

）=

6

3

，借助两角和的余弦公式即可求得cosx的值；
（2）由2bcosA≤2c-

3

a得：cosB≥

3

2

，从而可得B的取值范围，利用正弦函数的单调性质即可求得f（B）的取值范围．

解答： 解：（1）依题意得f（x）=sin（x-

π

6

），
由x∈[0，

π

2

]得：-

π

6

≤x-

π

6

≤

π

3

，sin（x-

π

6

）=

3

3

＞0，
从而可得cos（x-

π

6

）=

6

3

，
则cosx=cos[（x-

π

6

）+

π

6

]=cos

π

6

cos（x-

π

6

）-sin

π

6

sin（x-

π

6

）=

2

2

-

3

6

；
（2）由2bcosA≤2c-

3

a得：2b•

b2+c2-a2

2bc

≤2c-

3

a，即c²+a²-b²=2accosB≥

3

ac，
∴cosB≥

3

2

，从而0＜B≤

π

6

，
故f（B）=sin（B-

π

6

）∈（-

1

2

，0]．

点评：本题考查平面向量的数量积的坐标运算，考查两角和的余弦及正弦函数的单调性质，属于中档题．