Question

【题目】设Sn为数列{an}的前n项和．已知．

（Ⅰ）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）令，求数列{bn}的前n项和Tn．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）an=2n+1；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）依题意有an2+2an=4Sn+3①，当n≥2时an-12+2an-1=4Sn-1+3②，两式对应相减an-an-1-2=0（n≥2），再利用等差数列的通项求{an}的通项公式；（Ⅱ）由题得=（-），再利用裂项相消法求数列{bn}的前n项和Tn．

（Ⅰ）依题意有an2+2an=4Sn+3①

当n=1时a12+2a1=4S1+3，解得a1=3，

当n≥2是an-12+2an-1=4Sn-1+3②，

①-②得（an+an-1）（an+an-1-2）=0，

∵an＞0，

∴an+an-1＞0，

∴an-an-1-2=0（n≥2），

∴{an}成等差数列，得an=3+2（n-1）=2n+1．

（Ⅱ）===（-），

∴数列{bn}的前n项和Tn=（1-++…+-）=（1-）=