Question

18．已知函数$y={sin^4}x+2\sqrt{3}sinxcosx-{cos^4}x$
（1）求该函数的最小正周期和取最小值时x的集合；
（2）若x∈[0，π]，求该函数的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）运用二倍角公式和两角差的正弦公式，化简已知函数，再由正弦函数图象的性质进行解答；
（2）由正弦函数的单调增区间[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]，列出关于x的不等式，求出不等式的解集，令解集中k=0和1，得到x的范围，与x∈[0，π]取交集，即可得到该函数的单调递增区间．

解答 解：（1）$y={sin^4}x+2\sqrt{3}sinxcosx-{cos^4}x$
=（sin⁴x-cos⁴x）+$\sqrt{3}$•（2sinxcosx）
=（sin²x-cos²x）（sin²x+cos²x）+$\sqrt{3}$sin2x
=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x）
=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
所以T=π，函数取最小值时x的集合为{x|x=kπ-$\frac{π}{6}$（k∈Z）}；…（6分）
（2）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
则kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，…（8分）
令k=0，1，得到x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]或x∈[$\frac{5π}{6}$，$\frac{4π}{3}$]，
与x∈[0，π]取交集，得到x∈[0，$\frac{π}{3}$]或x∈[$\frac{5π}{6}$，π]，
则当x∈[0，π]时，函数的递增区间是x∈[0，$\frac{π}{3}$]或x∈[$\frac{5π}{6}$，π]．…（12分）

点评 本题考查三角函数的化简和求值，考查二倍角公式和两角差的正弦公式，考查正弦函数的值域、单调性，属于基础题．