Question

已知函数f（x）=ae^x和g（x）=lnx-lna的图象与坐标轴的交点分别是点A，B，且以点A，B为切点的切线互相平行．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若函数F(x)=g(x)+

1

x

，求函数F（x）的极值；
（Ⅲ）若存在x使不等式

x-m

f(x)

＞

x

成立，求实m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）利用导数的运算法则得出f′（x），g′（x），再利用导数的几何意义，得到f′（0）=g′（a），解出即可；
（II）解出F′（x）=0，再判定是否符合极值的定义即可；
（III）存在x使不等式

x-m

f(x)

＞

x

成立?故m＜x-

x

ex在x∈[0，+∞）上有解?令h(x)=x-

x

ex，m＜h（x）_max，利用导数求出即可．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=aex，g′(x)=

1

x

，（x＞0）．
函数y=f（x）的图象与坐标轴的交点为（0，a），
函数y=g（x）的图象与坐标轴的交点为（a，0），
由题意得f′(0)=g′(a)，即a=

1

a

，又∵a＞0，∴a=1；
（Ⅱ）∵F(x)=g(x)+

1

x

，（x＞0），
∴F′(x)=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，

解F′（x）＞0得x＞1；解F′（x）＜0，得0＜x＜1．
∴函数F（x）的递减区间是（0，1），递增区间是（1，+∞），
所以函数F（x）极小值是F（1）=1，函数F（x）无极大值；
（Ⅲ）由

x-m

f(x)

＞

x

得

x-m

ex

＞

x

，
故m＜x-

x

ex在x∈[0，+∞）上有解，
令h(x)=x-

x

ex，m＜h（x）_max
当x=0时，m＜0
当x＞0时，h′(x)=1-(

1

2 x

ex+

x

ex)=1-(

1

2 x

+

x

)ex，
∵x＞0，∴

1

2 x

+

x

≥2

1 2 x • x

=

2

，ex＞1，
∴(

1

2 x

+

x

)ex＞

2

故h′(x)=1-(

1

2 x

+

x

)ex＜0，
即h(x)=x-

x

ex在区间[0，+∞）上单调递减，故m＜h（x）_max，∴m＜0，
即实数m的取值范围（-∞，0）．

点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值、等价转化方法等是解题的关键．