Question

如图，在边长为4的正方形ABCD上有一动点P，P沿着折线BCDA由点B向点A移动（点P与A、B不重合），设P点移动的路程为x，△ABP的面积为y．
（1）求△ABP的面积与P点移动的路程间的函数关系式；
（2）作出函数的图象，并根据图象求出值域．

Answer 1

考点：根据实际问题选择函数类型,函数图象的作法

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（1）先求出定义域，然后根据点P的位置进行分类讨论，根据三角形的面积公式求出每一段△ABP的面积与P移动的路程间的函数关系式，最后用分段函数进行表示即可；
（2）根据每一段的函数解析式画出每一段的函数图象，结合函数图象即可求出函数的最大值．

解答： 解：（1）由于x=0与x=12时，三点A、B、P不能构成三角形，
故这个函数的定义域为（0，12）．
当0＜x≤4时，S=f（x）=

1

2

•4•x=2x；
当4＜x≤8时，S=f（x）=8；
当8＜x＜12时，S=f（x）=

1

2

•4•（12-x）=2（12-x）=24-2x．
∴这个函数的解析式为f（x）=

2x，x∈(0，4] 8，x∈(4，8] 24-2x，x∈(8，12)

；
（2）其图形为右上图，由图知，[f（x）]_max=8，
∴值域为[0，8]．

点评：本题主要考查了函数解析式的求解，以及分段函数的图象等有关基础知识，分类讨论的数学思想，属于基础题．