Question

已知函数f（x）=Asin（3x+φ）（A＞0，0＜φ＜π）在x=

π

12

时取得最大值4．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的解析式；
（3）若x∈[-

π

4

，0]，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）直接利用正弦函数的周期公式，求f（x）的最小正周期；
（2）利用函数的最值求出A，通过函数经过的特殊点，求出φ，然后求f（x）的解析式；
（3）通过x∈[-

π

4

，0]，求出相位的范围，利用正弦函数的值域直接求f（x）的值域．

解答：解：（1）T=

2π

ω

=

2π

3

（2）因为函数f（x）=Asin（3x+φ）（A＞0，0＜φ＜π），
在x=

π

12

时取得最大值4，
所以A=4且3×

π

12

+φ=

π

2

+2kπ，k∈Z，
即φ=

π

4

+2kπ，∵0＜φ＜π，∴φ=

π

4

．

∴

f（x）=4sin（3x+

π

4

）．
（3）x∈[-

π

4

，0]时，3x+

π

4

∈[-

π

2

，

π

4

]，
-1≤sin(3x+

π

4

)≤

2

2

-4≤4sin(3x+

π

4

)≤2

2

，
f（x）的值域为[-4，2

2

]

点评：本题考查三角函数的基本性质，函数的解析式的求法，正弦函数的值域的求法，考查计算能力．