Question

3．已知函数f（x）=x²+ln²3x-2a（x+3ln3x）+10a²，若存在x₀使得$f（{x_0}）≤\frac{1}{10}$成立，则实数a的值为（　　）

• A． $\frac{1}{10}$
• B． $\frac{2}{5}$
• C． $\frac{1}{5}$
• D． $\frac{1}{30}$

Answer 1

分析 把函数f（x）可以看作是动点M（x，ln3x）与动点N（a，3a）之间距离的平方，利用导数求出曲线y=ln3x上与直线y=3x平行的切线的切点，得到曲线上点到直线距离的最小值，结合题意可得只有切点到直线距离的平方等于$\frac{1}{10}$，然后由两直线斜率的关系列式求得实数a的值．

解答 解：函数f（x）=x²+ln²3x-2a（x+3ln3x）+10a²=（ln3x-3a）²+（x-a）²，
函数f（x）可以看作是动点M（x，ln3x）与动点N（a，3a）之间距离的平方，
动点M在函数y=ln3x的图象上，N在直线y=3x的图象上，
问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，
由y=ln3x得，y'=$\frac{1}{x}$=3，解得x=$\frac{1}{3}$，
∴曲线上点M（$\frac{1}{3}$，0）到直线y=3x的距离最小，
最小距离d=$\frac{1}{\sqrt{10}}$，
则f（x）≥$\frac{1}{10}$，
根据题意，要使f（x₀）≤$\frac{1}{10}$，
则f（x₀）=$\frac{1}{10}$，此时N恰好为垂足，
由k_MN=$\frac{3a-0}{a-\frac{1}{3}}$=-$\frac{1}{3}$，
解得a=$\frac{1}{30}$．
故选：D．

点评 本题考查利用导数求曲线上过某点切线的斜率，考查了数形结合和数学转化思想方法，训练了点到直线的距离公式的应用，是中档题．