Question

1．已知椭圆G：$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{b^2}=1（0＜b＜\sqrt{6}）$的两个焦点分别为F₁和F₂，短轴的两个端点分别为B₁和B₂，点P在椭圆G上，且满足|PB₁|+|PB₂|=|PF₁|+|PF₂|．当b变化时，给出下列三个命题：
①点P的轨迹关于y轴对称；
②存在b使得椭圆G上满足条件的点P仅有两个；
③|OP|的最小值为2，
其中，所有正确命题的序号是①③．

Answer 1

分析 运用椭圆的定义可得P也在椭圆$\frac{{y}^{2}}{6}$+$\frac{{x}^{2}}{6-{b}^{2}}$=1上，分别画出两个椭圆的图形，即可判断①正确；
通过b的变化，可得②不正确；由图象可得当P的横坐标和纵坐标的绝对值相等时，|OP|的值取得最小，即可判断③．

解答 解：椭圆G：$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{b^2}=1（0＜b＜\sqrt{6}）$的两个焦点分别为
F₁（$\sqrt{6-{b}^{2}}$，0）和F₂（-$\sqrt{6-{b}^{2}}$，0），
短轴的两个端点分别为B₁（0，-b）和B₂（0，b），
设P（x，y），点P在椭圆G上，且满足|PB₁|+|PB₂|=|PF₁|+|PF₂|，
由椭圆定义可得，|PB₁|+|PB₂|=2a=2$\sqrt{6}$＞2b，
即有P在椭圆$\frac{{y}^{2}}{6}$+$\frac{{x}^{2}}{6-{b}^{2}}$=1上．
对于①，将x换为-x方程不变，则点P的轨迹关于y轴对称，
故①正确；
对于②，由图象可得轨迹关于x，y轴对称，且0＜b＜$\sqrt{6}$，
则椭圆G上满足条件的点P有4个，
不存在b使得椭圆G上满足条件的点P仅有两个，故②不正确；
对于③，由图象可得，当P满足x²=y²，即有6-b²=b²，即b=$\sqrt{3}$时，
|OP|取得最小值，可得x²=y²=2，即有|OP|的最小值为2，故③正确．
故答案为：①③．

点评 本题考查椭圆的定义和方程的运用，以及对称性，考查数形结合的思想方法，以及运算能力，属于中档题．