Question

9．已知函数f（x）=sin（ωx-$\frac{π}{6}$）（ω＞0）的图象与x轴的相邻两个交点的距离为$\frac{π}{2}$．
（1）求w的值；
（2）设函数g（x）=f（x）+2cos²x-1，求g（x）在区间$[0，\frac{π}{2}]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）根据题意可得周期T=π，即可求出ω的值，
（2）根据二倍角公式和两角和差的正弦公式，可得g（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），再根据正弦函数的图象和性质即可求出最值

解答 解：（1）函数f（x）=sin（ωx-$\frac{π}{6}$）（ω＞0）的图象与x轴的相邻两个交点的距离为$\frac{π}{2}$．
可得函数的最小正周期为T=2×$\frac{π}{2}$=π，
则ω=$\frac{2π}{T}$=$\frac{2π}{π}$=2，解得ω=2，
（2）函数g（x）=f（x）+2cos²x-1=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+cos2x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x+cos2x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x=sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴-$\frac{1}{2}$≤sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴g（x）在区间$[0，\frac{π}{2}]$上的最大值为1，最小值为-$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查三角函数的恒等变换，三角函数的周期性和求法，正弦函数的单调性，属于中档题．