Question

19．已知矩阵M=$[\begin{array}{l}{1}&{a}\\{-1}&{b}\end{array}]$，点（1，-1）在M对应的变换作用下得到点（-1，5），求矩阵M的特征值．

Answer 1

分析 设出矩阵，利用特征向量的定义，即二阶变换矩阵的概念，建立方程组，即可得到结论．

解答 解：由题意，$[\begin{array}{l}{1}&{a}\\{-1}&{b}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{1}\\{-1}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{-1}\\{5}\end{array}]$，即$\left\{\begin{array}{l}{1-a=-1}\\{-1-b=-5}\end{array}\right.$，解得a=2，b=4，所以矩阵M=$[\begin{array}{l}{1}&{2}\\{-1}&{4}\end{array}]$．
所以矩阵M的特征多项式为f（λ）=$|\begin{array}{l}{λ-1}&{-2}\\{1}&{λ-4}\end{array}|$=λ²-5λ+6，令f（λ）=0，得矩阵M的特征值为2和3．

点评 本题考查特征值，考查二阶变换矩阵，考查学生的计算能力，属于中档题．