Question

7．在梯形ABCD中，AD∥BC，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=0，|$\overrightarrow{AB}$|=2，|$\overrightarrow{BC}$|=4，AC与BD相交于点E，$\overrightarrow{AC}$⊥$\overrightarrow{BD}$，则$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{CD}$=-$\frac{16}{5}$

Answer 1

分析 以BC所在的直线为x轴，BA所在的直线为y轴，建立直角坐标系，可求得直线AC的方程与BD的方程，联立二方程可求得点E的坐标，设D（m，2m），利用平面向量的坐标运算可求得$\overrightarrow{CD}$=（m-4，2m），$\overrightarrow{AE}$=（$\frac{4}{5}$，-$\frac{2}{5}$），从而可得$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{CD}$的值．

解答 解：以BC所在的直线为x轴，BA所在的直线为y轴，建立直角坐标系，如图：

则C（4，0），A（0，2），直线AC的斜率k=$\frac{2-0}{0-4}$=-$\frac{1}{2}$，
∵$\overrightarrow{AC}$⊥$\overrightarrow{BD}$，
∴直线BD的斜率k′=2，∴过原点的直线BD的方程为y=2x，设D（m，2m），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{\frac{x}{4}+\frac{y}{2}=1}\end{array}\right.$解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{5}}\\{y=\frac{8}{5}}\end{array}\right.$，即E（$\frac{4}{5}$，$\frac{8}{5}$），
∵$\overrightarrow{CD}$=（m-4，2m），$\overrightarrow{AE}$=（$\frac{4}{5}$，-$\frac{2}{5}$），
∴$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{CD}$=$\frac{4}{5}$（m-4）-$\frac{2}{5}$×2m=-$\frac{16}{5}$．
故答案为：-$\frac{16}{5}$．

点评 本题考查平面向量数量积的坐标运算，建立直角坐标系后，求得点E的坐标是关键，考查数形结合思想、函数与方程思想及运算求解能力，属于中档题．