Question

10．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠ADC=90°，AD∥BC，AB⊥AC，AB=AC=$\sqrt{2}$，点E在AD上，且AE=2ED．
（Ⅰ）已知点F在BC上，且CF=2FB，求证：平面PEF⊥平面PAC；
（Ⅱ）当二面角A-PB-E的余弦值为多少时，直线PC与平面PAB所成的角为45°？

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出∠ACB=45°，从而∠ACD=45°，进而四边形ABFE是平行四边形，推导出AC⊥EF，PA⊥EF，从而EF⊥平面PAC，由此能证明平面PEF⊥平面PAC．
（Ⅱ）由PA⊥AC，AC⊥AB，知AC⊥平面PAB，则∠APC为直线PC与平面PAB所成的角，取BC的中点为G，连接AG，则AG⊥BC，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A-xyz，利用向量法能求出直线PC与平面PAB所成的角．

解答 （Ⅰ）证明：∵AB⊥AC，AB=AC，∴∠ACB=45°，
∵底面ABCD是直角梯形，∠ADC=90°，AD∥BC，
∴∠ACD=45°，即AD=CD，
∴$BC=\sqrt{2}AC=2AD$，
∵AE=2ED，CF=2FB，∴$AE=BF=\frac{2}{3}AD$，
∴四边形ABFE是平行四边形，则AB∥EF，
∴AC⊥EF，
∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥EF，
∵PA∩AC=A，
∴EF⊥平面PAC，∵EF?平面PEF，
∴平面PEF⊥平面PAC．
（Ⅱ）解：∵PA⊥AC，AC⊥AB，
∴AC⊥平面PAB，
则∠APC为直线PC与平面PAB所成的角，
若PC与平面PAB所成夹角为45°，则$tan∠APC=\frac{AC}{PA}=1$，即$PA=AC=\sqrt{2}$，
取BC的中点为G，连接AG，则AG⊥BC，以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，
则B（1，-1，0），C（1，1，0），$E（0，\frac{2}{3}，0）$，$P（0，0，\sqrt{2}）$，
∴$\overrightarrow{EB}=（1，-\frac{5}{3}，0）$，$\overrightarrow{EP}=（0，-\frac{2}{3}，\sqrt{2}）$，
设平面PBE的法向量$\overrightarrow n=（x，y，z）$，则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{EB}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{EP}=0\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}x-\frac{5}{3}y=0\\-\frac{2}{3}y+\sqrt{2}z=0\end{array}\right.$
令y=3，则x=5，$z=\sqrt{2}$，∴$\overrightarrow n=（5，3，\sqrt{2}）$，
∵$\overrightarrow{AC}=（1，1，0）$是平面PAB的一个法向量，
∴$cos＜\overrightarrow n，\overrightarrow{AC}＞=\frac{5+3}{{\sqrt{2}×6}}=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，
即当二面角A-PB-E的余弦值为$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$时，直线PC与平面PAB所成的角为45°．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．