Question

6．已知O为△ABC的外心，且$\overrightarrow{BO}=λ\overrightarrow{BA}+μ\overrightarrow{BC}$．
①若∠C=90°，则λ+μ=$\frac{1}{2}$；
②若∠ABC=60°，则λ+μ的最大值为$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 ①外心为斜边中点，根据图形即可得出λ，μ的值，
②以外接圆圆心为半径建立坐标系，设B（x，y），列方程用λ，μ表示出x，y，代入圆的方程，再利用不等式解出λ+μ的范围．

解答 解：①若∠C=90°，则O是斜边AB的中点，如图①所示；
∴$\overrightarrow{BO}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BA}$，
∴λ=$\frac{1}{2}$，μ=0，
∴λ+μ=$\frac{1}{2}$；
②设△ABC的外接圆半径为1，以外接圆圆心为原点建立坐标系，
∵∠ABC=60°，∴AOC=120°，
设A（1，0），C（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），B（x，y），
则$\overrightarrow{BA}$=（1-x，-y），$\overrightarrow{BC}$=（-$\frac{1}{2}$-x，$\frac{\sqrt{3}}{2}$-y），$\overrightarrow{BO}$=（-x，-y），
∵$\overrightarrow{BO}=λ\overrightarrow{BA}+μ\overrightarrow{BC}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{λ（1-x）-μ（\frac{1}{2}+x）=-x}\\{-λy+μ（\frac{\sqrt{3}}{2}-y）=-y}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{λ-\frac{1}{2}μ}{λ+μ-1}}\\{y=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}μ}{λ+μ-1}}\end{array}\right.$，
∵B在圆x²+y²=1上，
∴（$λ-\frac{1}{2}μ$）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}μ$）²=（λ+μ-1）²，
∴λμ=$\frac{2（λ+μ）-1}{3}$≤（$\frac{λ+μ}{2}$）²，
∴$\frac{1}{4}$（λ+μ）²-$\frac{2}{3}$（λ+μ）+$\frac{1}{3}$≥0，
解得λ+μ≤$\frac{2}{3}$或λ+μ≥2，
∵B只能在优弧$\widehat{AC}$上，∴λ+μ≤$\frac{2}{3}$，
即λ+μ得最大值为$\frac{2}{3}$．
故答案为：（1）$\frac{1}{2}$，（2）$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了平面向量的基本定理，转化为坐标运算是常用方法之一，属于中档题．