Question

11．已知函数$f（x）=\frac{lnx}{ax}$（a＞0）．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若$f（x）＜\frac{1}{{\sqrt{x}}}$恒成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）证明：总存在x₀，使得当x∈（x₀，+∞），恒有f（x）＜1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据导数的几何意义即可求出切线方程，
（Ⅱ）分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值即可，
（Ⅲ）先求导，讨论函数f（x）的单调性，根据函数的单调性和最值得关系，即可证明

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=$\frac{lnx}{x}$，x＞0，
∴f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
∴k=f′（1）=1，f（1）=0，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程y=x-1，
（Ⅱ）∵f（x）＜$\frac{1}{\sqrt{x}}$恒成立，
即$\frac{lnx}{ax}$＜$\frac{1}{\sqrt{x}}$，
∴a＞$\frac{lnx}{\sqrt{x}}$，x＞0，
设g（x）=$\frac{lnx}{\sqrt{x}}$，
∴g′（x）=$\frac{2-lnx}{2x\sqrt{x}}$，
当g′（x）＞0时，解得0＜x＜e²，函数g（x）单调递增，
当g′（x）＜0时，解得x＞e²，函数g（x）单调递减，
∴g（x）_max=g（e²）=$\frac{2}{e}$，
∴a＞$\frac{2}{e}$，
故a的取值范围为（$\frac{2}{e}$，+∞），
（Ⅲ）证明：∵f（x）=$\frac{lnx}{ax}$，
∴f′（x）=$\frac{1-lnx}{a{x}^{2}}$，
令f′（x）=0，解得x=e，
当f′（x）＞0时，解得0＜x＜e，函数g（x）单调递增，
当f′（x）＜0时，解得x＞e，函数g（x）单调递减，
∴f（x）_max=f（e）=$\frac{1}{ae}$，
令$\frac{1}{ae}$≤1，即a≥$\frac{1}{e}$时，
∴当a≥$\frac{1}{e}$时，总存在x₀，使得当x∈（x₀，+∞），恒有f（x）＜1，

点评 本题考查了导数的几何意义和导数函数的单调性和最值得关系，以及函数恒成立的问题，参数的取值范围，考查了分析问题解决问题的能力，属于难题