Question

1．已知椭圆W：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的上下顶点分别为A，B，且点B（0，-1）．F₁，F₂分别为椭圆W的左、右焦点，且∠F₁BF₂=120°．
（Ⅰ）求椭圆W的标准方程；
（Ⅱ）点M是椭圆上异于A，B的任意一点，过点M作MN⊥y轴于N，E为线段MN的中点．直线AE与直线y=-1交于点C，G为线段BC的中点，O为坐标原点．求∠OEG的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由b=1，由∠F₁BO=60°，则a=2．即可求得椭圆W的标准方程；
（Ⅱ）由题意设N和E点坐标，设直线AE的方程，当y=-1，即可求得C点坐标，求得G点坐标，则$\overrightarrow{OE}=（\frac{x_0}{2}，{y_0}）$，$\overrightarrow{GE}=（\frac{x_0}{2}-\frac{x_0}{{2（1-{y_0}）}}，{y_0}+1）$．根据向量数量积的坐标运算，即可求得$\overrightarrow{OE}$•$\overrightarrow{GE}$=0，则$\overrightarrow{OE}⊥\overrightarrow{GE}$，则∠OEG=90°．

解答 解：（Ⅰ）依题意，得b=1．又∠F₁BF₂=120°，
在Rt△BF₁O中，∠F₁BO=60°，则a=2．
∴椭圆W的标准方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．                      …（4分）
（Ⅱ）设M（x₀，y₀），x₀≠0，则N（0，y₀），E$（\frac{x_0}{2}，{y_0}）$．
由点M在椭圆W上，则$\frac{{{x_0}^2}}{4}+{y_0}^2=1$．即${x_0}^2=4-4{y_0}^2$．
又A（0，1），则直线AE的方程为$y-1=\frac{{2（{y_0}-1）}}{x_0}x$．
令y=-1，得C$（\frac{x_0}{{1-{y_0}}}，-1）$．
又B（0，-1），G为线段BC的中点，则G$（\frac{x_0}{{2（1-{y_0}）}}，-1）$．
∴$\overrightarrow{OE}=（\frac{x_0}{2}，{y_0}）$，$\overrightarrow{GE}=（\frac{x_0}{2}-\frac{x_0}{{2（1-{y_0}）}}，{y_0}+1）$．
∵$\overrightarrow{OE}•\overrightarrow{GE}=\frac{x_0}{2}（\frac{x_0}{2}-\frac{x_0}{{2（1-{y_0}）}}）+{y_0}（{y_0}+1）$=$\frac{{{x_0}^2}}{4}-\frac{{{x_0}^2}}{{4（1-{y_0}）}}+{y_0}^2+{y_0}$
=$1-\frac{{4-4{y_0}^2}}{{4（1-{y_0}）}}+{y_0}$=1-y₀-1+y₀=0，
∴$\overrightarrow{OE}⊥\overrightarrow{GE}$．则∠OEG=90°，
∠OEG为90°．                   …（13分）

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线的点斜式方程，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．