Question

20．如图1，在矩形ABCD中，AB=8，AD=3，点E、F分别为AB、CD的中点，将四边形AEFD沿EF折到A₁EFD₁的位置，使∠A₁EB=120°，如图2所示，点G，H分别在A₁B，D₁C上，A₁G=D₁H=$\sqrt{3}$，过点G，H的平面α与几何体A₁EB-D₁FC的面相交，交线围成一个正方形．
（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；
（2）求直线EH与平面α所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）在BE或A_1•E上取一点M，使得GM=GH=3，求出M点的位置即可作出截面图形；
（2）过E作出截面α的垂线，作出要求角，在直角三角形中计算余弦值．

解答 解：（1）由题意可知A₁E=BE=4，GH=A₁D₁=3，
在△A₁BE中，由余弦定理得A₁B=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}-2×4×4×cos120°}$=4$\sqrt{3}$，
设平面α与几何体的截面正方形为GHNM，则GM=3，
若M在棱BE上，设BM=x，则由余弦定理得cos30°=$\frac{（3\sqrt{3}）^{2}+{x}^{2}-9}{2•3\sqrt{3}•x}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得x=3，
若M在棱A₁E上，设A₁M=x，则由余弦定理得cos30°=$\frac{3+{x}^{2}-9}{2•\sqrt{3}•x}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得x=9（舍）．
过M作MN∥EF交CF于N，连接GH，MN，GM，HN，
则正方形GHNM即为要作的正方形．
（2）过E作EP⊥GM，垂足为P，连接HP，
∵EF⊥A₁E，EF⊥BE，A₁E∩BE=E，
∴EF⊥平面A₁BE，
∵A₁G=D₁H，∴GH∥EF，
∴GH⊥平面A₁BE，又EP?平面A₁BE，
∴EP⊥GH，又GH∩GM=G，GH?平面GHNM，GM?平面GHNM，
∴EP⊥平面GHNM，
∴∠EHP为直线EH与平面α所成的角，
由（1）可知GM∥A₁E，EM=1，
∴∠PEM=30°，∴PM=$\frac{1}{2}$，PE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴GP=$\frac{5}{2}$，PH=$\sqrt{{3}^{2}+（\frac{5}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{61}}{2}$，EH=$\sqrt{P{H}^{2}+P{E}^{2}}$=4，
∴cos∠EHP=$\frac{PH}{EH}$=$\frac{\sqrt{61}}{8}$．
∴直线EH与平面α所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{61}}{8}$．

点评 本题考查了线面平行的性质，线面角的计算，属于中档题．