Question

已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|=8．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）设直线l为抛物线C的切线且l∥MN，求直线l的方程．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题可知直线MN的方程为：y=x-

p

2

，代入y²=2px 化简，利用韦达定理以及抛物线的定义、|MN|=8求得p的值，可得抛物线的方程．
（2）设l方程为y=x+b，代入y²=4x 化简，再利用判别式△=0，解得b的值，可得l的方程．

解答： 解：（1）由题可知F（

p

2

，0），则该直线MN的方程为：y=x-

p

2

，
代入y²=2px，化简可得x²-3px+

p2

4

=0．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则有x₁=x₂=3p．
∵|MN|=8，∴有x₁+x₂+p=8，解得p=2，
∴抛物线的方程为：y²=4x．
（2）设l方程为y=x+b，代入y²=4x，可得x²+（2b-4）x+b²=0，
因为l为抛物线C的切线，∴△=0，解得b=1，
∴l的方程为：y=x+1．

点评：本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于基础题．