Question

已知m＞0，m≠

17 -1

2

，直线l₁：y=m与函数y=|log₂x|的图象从左至右相交于点A，B，直线l₂：y=

4

m+1

与函数y=|log₂x|的图象从左至右相交于点C，D，记线段AC和BD在x轴上的投影程长度分别为a，b，当m变化时，

b

a

的最小值是

 

．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：综合题,不等式的解法及应用

分析：由题意设A，B，C，D各点的横坐标分别为x_A，x_B，x_C，x_D，依题意可求得为x_A，x_B，x_C，x_D的值，a=|x_A-x_C|，b=|x_B-x_D|，下面利用基本不等式可求最小值

解答： 解：设A，B，C，D各点的横坐标分别为x_A，x_B，x_C，x_D，
则-log₂x_A=m，log₂x_B=m；-log₂x_C=

4

m+1

，log₂x_D=

4

m+1

；
∴x_A=2^-m，x_B=2^m，x_C=2-

4

m+1

，x_D=2

4

m+1

．
∴a=|x_A-x_C|，b=|x_B-x_D|，
∴

2m-2 4 m+1

2-m-2- 4 m+1

=2m+

4

m+1

又m＞0，∴m+

4

m+1

=m+1+

4

m+1

-1≥2

(m+1)• 4 m+1

-1=4-1=3，
当且仅当m=1时取“=”号，
∴

b

a

≥2³=8，
故答案为：8．

点评：本题考查对数函数图象与性质的综合应用，理解投影的概念并能把问题转化为基本不等式求最值是解决问题的关键，属中档题．