Question

已知函数f（x）=xlnx，g（x）=（-x²+ax-3）e^x（a为实数）．
（1）求f（x）在区间[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）若存在两个不等实根x₁，x₂∈（

1

e

，e），使方程g（x）=2e^xf（x）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：函数的性质及应用

分析：（1）求出f'（x）=lnx+1，利用导数与单调性的关系，分类求解，利用导数求出函数f（x）在[t，t+2]上的单调区间，求出极值和区间端点值，比较大小后得到
f（x）在区间[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（Ⅱ）把f（x）和g（x）的解析式代入g（x）=2e^xf（x），分离变量a，然后构造函数h（x）=x+2lnx+

3

x

，由导数求出其在[

1

e

，e]上的最大值和最小值，则实数a的取值范围可求．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得f′（x）=lnx+1，

x	（0， 1 e ）	1 e	（ 1 e ，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	单调递减	极小值（最小值）	单调递增

①当t≥

1

e

时，在区间（t，t+2）上f（x）为增函数，
∴f（x）_min=f（t）=tlnt；                                      
②当0＜t＜

1

e

时，在区间（t，

1

e

）上f（x）为减函数，在区间（

1

e

，+∞）上f（x）为增函数，
∴f（x）_min=f（

1

e

）；                                     

（Ⅱ） 由g（x）=2e^xf（x），可得：2xlnx=-x²+ax-3，a=x+2lnx+

3

x

，
令h（x）=x+2lnx+

3

x

，h′（x）=1+

2

x

-

3

x2

．

x	（ 1 e ，1）	1	（1，e）
h′（x）	-	0	+
h（x）	单调递减	极小值（最小值）	单调递增

因为h（

1

e

）=

1

e

+3e-2，h（1）=4，h（e）=

3

e

+e+2．h（e）-h（

1

e

）=4-2e+

2

e

＜0．
∴使方程g（x）=2e^xf（x）存在两不等实根的实数a的取值范围为4＜a≤e+2+

3

e

．

点评：本题考查了导数在求函数最值中的应用，关键在于由导函数的符号确定原函数的单调性，考查利用构造函数法求解含字母系数的范围问题，解答的技巧是分类字母系数，是高考试卷中的压轴题．