Question

如图，OMN是半径为2，圆心角为120°的扇形，ABCD是扇形的内接矩形．
（1）当

CN

=

1

4

MN

时，求CD的长．
（2）求矩形ABCD的面积的最大值．

Answer 1

考点：扇形面积公式

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（1）由题意可得，∠NOC=30°，由对称性，可知，∠COE=30°，则△DOC为等腰三角形，且CD=OD，通过解直角三角形，即可得到；
（2）设∠COE=α，设OE交AD于E，交BC于F，显然矩形ABCD关于OE对称，而E，F均为AD，BC的中点，先把矩形的各个边长用角α表示出来，进而表示出矩形的面积，再利用角α的范围来求出矩形面积的最大值即可．

解答： 解：（1）当

CN

=

1

4

MN

时，即有∠NOC=30°，
由对称性，可知，∠COE=30°，
则△DOC为等腰三角形，且CD=OD，
由等腰三角形的三线合一，则CDcos30°=1，
解得，CD=

2 3

3

；
（2）设∠COE=α，
设OE交AD于E，交BC于F，显然矩形ABCD关于OE对称，
而E，F均为AD，BC的中点，在Rt△OFC中，CF=2sinα，OF=2cosα．
则BC=AD=4sinα，OE=OF-EF=2cosα-CD，DE=OEtan60°=

3

OE=2sinα，
即有CD=2cosα-

2 3

3

sinα，
则矩形ABCD的面积S=CD•BC=（2cosα-

2 3

3

sinα）•4sinα
=8sinαcosα-

8 3

3

sin²α=4sin2α-

4 3

3

(1-cos2α)
=

8 3

3

（

3

2

sin2α+

1

2

cos2α）-

4 3

3

=

8 3

3

sin（2α+

π

6

）-

4 3

3

，
当sin（2α+

π

6

）=1即α=

π

6

时，面积取得最大值，且为

4 3

3

．

点评：本题主要考查解三角形的有关知识在实际生活中的应用问题；解决这一类型题目的关键在与把文字语言转化为数学表达式，最终利用数学知识解题．