Question

已知函数f（x）=|x-a|
（Ⅰ）不等式|f（x）-1|≤1的解集为A，且2∈A，3∈A，求a的取值范围；
（Ⅱ）已知关于x的不等式|f（2x+a）-2f（x）|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求正实数a的值．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）由不等式|f（x）-1|≤1，求得它的解集为A=[a-2，a+2]．再根据2∈A，3∈A，可得

a-2≤2≤a+2 a-2≤3≤a+2

，由此求得a的范围．
（Ⅱ）设h（x）=f（2x+a）-2f（x）=

-2a，x≤0 4x-2a，0＜x＜a 2a，x≥a

，由|h（x）|≤2解得

a-1

2

≤x≤

a+1

2

，根据它与1≤x≤2等价，然后求出a的值．

解答： 解：（Ⅰ）由不等式|f（x）-1|≤1，可得-1≤f（x）-1≤1，即 0≤f（x）≤2，即  0≤|x-a|≤2，
即|x-a|≤2，即 a-2≤x≤a+2，故A=[a-2，a+2]．
再根据2∈A，3∈A，可得

a-2≤2≤a+2 a-2≤3≤a+2

，由此求得 1≤a≤2．
（Ⅱ）设h（x）=f（2x+a）-2f（x），则h（x）=

-2a，x≤0 4x-2a，0＜x＜a 2a，x≥a

，
 由|h（x）|≤2得

a-1

2

≤x≤

a+1

2

，
又已知关于x的不等式|f（2x+a）-2f（x）|≤2的解集{x|1≤x≤2}，
∴

a-1 2 =1 a+1 2 =2

，∴a=3．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，注意分类讨论思想的应用，考查计算能力，常考题型，属于中档题．