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已知函数f(x)=a(x-1)+lnx;
(1)若f(x)≥0在其定义域上恒成立,求a的取值所构成的集合;
(2)在函数f(x)的图象任意给定相异两点A(x1,f(x1))、B(x2,f(x2)),其中x1<x2,是否总存在x0∈(x1,x2)使得f′(x0)=
f(x1)-f(x2)x1-x2
?请说明理由!
分析:(1)f(x)≥0在其定义域上恒成立转化为f(x)min>0,从而可用导数求解f(x)的最小值.
(2)令g(x)=f′(x)-
f(x1)-f(x2)
x1-x2
,则问题转化为判断函数g(x)在(x1,x2)上是否存在零点x0 ,从而可利用函数存在零点的条件进行判断.
解答:解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞).f′(x)=a+
1
x
=
ax+1
x

①当a≥0时,f′(x)>0,所以f(x)在定义域内单调递增,又f(1)=0,所以当0<x<1时,f(x)<0,故a≥0不合题意;
②当a<0时,令f′(x)=0,得x=-
1
a
,当0<x<-
1
a
时,f′(x)>0,f(x)在(0,-
1
a
)上单调递增;当x>-
1
a
时,f′(x)<0,f(x)在(-
1
a
,+∞)上单调递减.
若-
1
a
<1即a<-1,则x>1时,f(x)<f(1)=0,故a<-1不合题意;若-
1
a
>1,即-1<a<0,则x<1时,f(x)<f(1)=0,故-1<a<0不合题意.
综上,a的取值构成的集合为∅.
(2)
f(x1)-f(x2)
x1-x2
=
[a(x1-1)+lnx1]-[a(x2-1)+lnx2]
x1-x2
=
a(x1-x2)+ln
x1
x2
x1-x2
=a+
ln
x1
x2
x1-x2

f′(x)=a+
1
x
,令g(x)=f′(x)-
f(x1)-f(x2)
x1-x2
=(a+
1
x
)-(a+
ln
x1
x2
x1-x2
)=
1
x
-
ln
x1
x2
x1-x2

则g(x1)=
1
x1
-
ln
x1
x2
x1-x2
=
x2(
x1
x2
ln
x1
x2
-
x1
x2
+1)
x1(x2-x1)
,g(x2)=
1
x2
-
ln
x1
x2
x1-x2
=
x1(
x2
x1
ln
x2
x1
-
x2
x1
+1)
x2(x1-x2)

令h(t)=tlnt-t+1,则h′(t)=lnt,令h′(t)=0,则t=1,当0<t<1时,h′(t)<0,h(t)单调递减;当t>1时,h′(t)>1,h(t)单调递增.
所以当t≠1时,h(t)>h(1)=0,从而
x1
x2
ln
x1
x2
-
x1
x2
+1>0,
x2
x1
ln
x2
x1
-
x2
x1
+1>0.又
x2
x1(x2-x1)
>0,
x1
x2(x1-x2)
<0,
所以g(x1)>0,g(x2)<0,因为函数g(x)在[x1,x2]上的图象是连续不断的一条曲线,
所以总存在x0∈(x1,x2)使g(x0)=0,即f′(x0)=
f(x1)-f(x2)
x1-x2
点评:本题考查利用导数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等,考查运算能力、分析解决问题的能力,同时考查函数与方程思想.
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a-x2
x
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1
2
 , 2])

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1
4
)
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