Question

已知数列{a_n}中，a₁＝1，S_n是数列{a_n}的前n项和，且对任意n∈N^*，有a_n＋1＝kS_n＋1(k为常数)．

(1)当k＝2时，求a₂、a₃的值；

(2)试判断数列{a_n}是否为等比数列？请说明理由．

Answer 1

　(1)当k＝2时，a_n＋1＝2S_n＋1，

令n＝1得a₂＝2S₁＋1，又a₁＝S₁＝1，得a₂＝3；

令n＝2得a₃＝2S₂＋1＝2(a₁＋a₂)＋1＝9，∴a₃＝9.

∴a₂＝3，a₃＝9.

(2)由a_n＋1＝kS_n＋1，得a_n＝kS_n－1＋1，

两式相减，得a_n＋1－a_n＝ka_n(n≥2)，

即a_n＋1＝(k＋1)a_n(n≥2)，

且＝＝k＋1，故a_n＋1＝(k＋1)a_n.

故当k＝－1时，a_n＝

此时，{a_n}不是等比数列；

当k≠－1时，＝k＋1≠0，此时，{a_n}是首项为1，公比为k＋1的等比数列．

综上，当k＝－1时，{a_n}不是等比数列；

当k≠－1时，{a_n}是等比数列．