Question

18．△ABC中，D为BC边的中点，tan∠BAD•tan∠C=1，则△ABC是等腰或直角三角形．

Answer 1

分析 由tan∠BAD•tan∠C=1，可得∠DAC+∠ABD=$\frac{π}{2}$．在△ADC中，$\frac{CD}{sin∠DAC}$=$\frac{AD}{sinC}$，在△ABD中，$\frac{BD}{sin∠BAD}$=$\frac{AD}{sin∠ABD}$，可得sin2C=sin2∠ABD，∠C=∠ABD，或∠C+∠ABD=$\frac{π}{2}$，即可得解．

解答 解：由tan∠BAD•tan∠C=1，
∴∠BAD+∠C=$\frac{π}{2}$，
∴∠DAC+∠ABD=$\frac{π}{2}$．
在△ADC中，$\frac{CD}{sin∠DAC}$=$\frac{AD}{sinC}$，
在△ABD中，$\frac{BD}{sin∠BAD}$=$\frac{AD}{sin∠ABD}$，
可得sin2C=sin2∠ABD，
∴∠C=∠ABD，或∠C+∠ABD=$\frac{π}{2}$，
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
故答案为：等腰或直角．

点评 本题考查了同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．