Question

给出下列命题：
①存在实数α，使得sinα•cosα=1成立；
②存在实数α，使得sinα+cosα=

3

2

成立；
③y=sin（

5π

2

-2x）是偶函数；
④x=

π

8

是函数y=sin（2x+

5π

4

）的一条对称轴；
⑤若α，β是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ．
其中正确命题的序号有

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：阅读型,函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：①由于sinα•cosα=

1

2

sin2α≤

1

2

，即可判断；②由于sinα+cosα=

2

sin（α+

π

4

）≤

2

，即可判断；
③由诱导公式和余弦函数为偶函数，即可判断；
④代入x=

π

8

，计算是否为最值，即可判断是否为对称轴；
⑤可取特殊值，比如α=

9π

4

，β=

π

4

，即可判断．

解答： 解：①由于sinα•cosα=

1

2

sin2α≤

1

2

，故不存在实数α，使得sinα•cosα=1成立，故①错；
②由于sinα+cosα=

2

sin（α+

π

4

）≤

2

，则不存在实数α，使得sinα+cosα=

3

2

成立，故②错；
③y=sin（

5π

2

-2x）即y=cos2x是偶函数，故③对；
④当x=

π

8

时，y=sin（2×

π

8

+

5π

4

）=-1为最小值，故x=

π

8

是函数y=sin（2x+

5π

4

）的一条对称轴，故④对；
⑤若α，β是第一象限角，且α＞β，比如α=

9π

4

，β=

π

4

，则tanα=tanβ=1，故⑤错．
故答案为：③④

点评：本题考查三角函数的图象和性质，主要考查函数的奇偶性、对称性和单调性，同时考查二倍角公式和两角和差公式的运用，属于基础题．