Question

3．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₉=90，S₁₅=240．
（1）求{a_n}的通项公式a_n和前n项和S_n；
（2）设a_nb_n=$\frac{1}{（n+1）}$，S_n为数列{b_n}的前n项和，若不等式S_n＜t对于任意的n∈N*恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，由题意可知$\left\{\begin{array}{l}{9{a}_{1}+36d=90}\\{15{a}_{1}+105d=240}\end{array}\right.$，解得即可，
（2）求出数列b_n的通项公式，根据裂项求和求出S_n，即可求出t的范围．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，
由S₉=90，S₁₅=240，
得$\left\{\begin{array}{l}{9{a}_{1}+36d=90}\\{15{a}_{1}+105d=240}\end{array}\right.$，
解得a₁=d=2，
∴a_n=2+2（n-1）=2n，
S_n=2n+$\frac{n（n-1）×2}{2}$=n（n+1），
（2）∵a_nb_n=$\frac{1}{（n+1）}$，
∴b_n=$\frac{1}{2n（n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴S_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{2}$$-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{n+1}$）＜$\frac{1}{2}$，
∴不等式S_n＜t对于任意的n∈N*恒成立，
∴t≥$\frac{1}{2}$

点评 本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，以及裂项求和，属于中档题．