Question

15．将函数f（x）=sin（$\frac{3π}{2}$+x）（cosx-2sinx）+sin²x的图象向左平移$\frac{π}{8}$个单位长度后得到函数g（x），则g（x）具有性质（　　）

• A． 在（0，$\frac{π}{4}}$）上单调递增，为奇函数
• B． 周期为π，图象关于（$\frac{π}{4}，0}$）对称
• C． 最大值为$\sqrt{2}$，图象关于直线x=$\frac{π}{2}$对称
• D． 在（-$\frac{π}{2}，0}$）上单调递增，为偶函数

Answer 1

分析 利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的周期性、单调性、以及它的图象的对称性，得出结论．

解答 解：将函数f（x）=sin（$\frac{3π}{2}$+x）（cosx-2sinx）+sin²x=-cosx （cosx-2sinx）+sin²x 
=sin2x-cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$） 的图象向左平移$\frac{π}{8}$个单位长度后得到函数g（x）=$\sqrt{2}$sin[2（x+$\frac{π}{8}$）-$\frac{π}{4}$]=$\sqrt{2}$sin2x的图象，
则g（x）为奇函数，且在（0，$\frac{π}{4}}$）上单调递增，故A正确、D不正确；
由于当x=$\frac{π}{4}$时，函数g（x）取得最大值为$\sqrt{2}$，故它的图象不关于（$\frac{π}{4}，0}$）对称，故排除B；
当x=$\frac{π}{2}$时，g（x）=0，故g（x）的图象不关于直线x=$\frac{π}{2}$对称，故C不正确；
故选：A．

点评 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．