Question

13．已知椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，椭圆C₂以椭圆C₁的长轴为短轴，且离心率e=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
（1）求椭圆C₂的方程； 
（2）如图，点A，B分别为椭圆C₁的上、下顶点，点P为椭圆C₂上一动点，∠APB的大小为θ，求cosθ的最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意椭圆C₂的焦点在y轴上，设方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$，根据条件求出a、b即可；
（2）当点P是椭圆的短轴的端点时，∠APB取得最大值，此时cos∠APB可取得最小值．

解答 解：（1）由题意可设椭圆C₂的方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
∵椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的长轴长为4，∴2b=4，∴b=2，
∵离心率e=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，∴$\frac{{a}^{2}-4}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{5}$，∴a²=5
∴椭圆C₂的方程为$\frac{{y}^{2}}{5}+\frac{{x}^{2}}{4}=1$；
（2）由（1）知，椭圆C₂的方程为$\frac{{y}^{2}}{5}+\frac{{x}^{2}}{4}=1$的焦点为（0，±1），
∴点A，B分别为椭圆C₂的焦点，
∵a=$\sqrt{5}$，b=2，c=1，∴e=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
当点P是椭圆的短轴的端点时，∠APB取得最大值，
∴sin（$\frac{1}{2}$∠APB）=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，∴cos∠F₁PF₂的最小值=1-2sin²（$\frac{1}{2}$∠APB）=1-2（$\frac{\sqrt{5}}{5}$）²=$\frac{3}{5}$．

点评 正确理解当点P是椭圆的短轴的端点时，∠APB取得最大值，此时cos∠APB可取得最小值是解题的关键．