Question

设锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ccosB+

3

bsinC=a．
（1）求角C的大小；
（2）若c=1，求a²+b²的取值范围．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）由条件利用正弦定理可得 sinCcosB+

3

sinBsinC=sinA，化简可得

3

sinBsinC=sinBcosC．求得tanC的值，可得C的值．
（2）再由余弦定理可得c²=1=a²+b²-

3

ab≥

2- 3

2

（a²+b²），可得a²+b²≤4+2

3

．由三角形任意两边之和大于第三边以及基本不等式求得a²+b²＞

1

2

，从而求得a²+b²的取值范围．

解答： 解：（1）锐角△ABC中，∵ccosB+

3

bsinC=a，
∴由正弦定理可得：sinCcosB+

3

sinBsinC=sinA，
即sinCcosB+

3

sinBsinC=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，
即

3

sinBsinC=sinBcosC．
∵sinB≠0，∴tanC=

3

3

，C=

π

6

．
（2）∵a²+b²≥2ab，∴ab≤

a2+b2

2

，∴-

3

ab≥-

3

2

（a²+b²）．
再由余弦定理可得c²=1=a²+b²-2ab•cosC=a²+b²-

3

ab≥

2- 3

2

（a²+b²），
∴a²+b²≤

2

2- 3

=

2(2+ 3 )

(2- 3 )(2+ 3 )

=4+2

3

．
由三角形任意两边之和大于第三边，可得a+b＞c=1，
平方可得a²+b²+2ab＞1，∴2（a²+b²）＞1，∴a²+b²＞

1

2

．
综上可得，a²+b² ∈（

1

2

，4+2

3

]．

点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理、基本不等式的应用，属于中档题．