Question

学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm²，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm．如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：设版心的高为xdm，于是版心的宽为

128

x

dm，此时四周空白面积为s(x)=(x+4)(

128

x

+2)-128=2x+

512

x

+8，(x＞0)．再利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．

解答： 解：设版心的高为xdm，则版心的宽为

128

x

dm，
此时四周空白面积为s(x)=(x+4)(

128

x

+2)-128=2x+

512

x

+8，(x＞0)，
求导数得：s′(x)=2-

512

x2

，
令s′(x)=2-

512

x2

=0，解得x=16，x=-16（舍去），
于是宽为

128

x

=

128

16

=8，
当x∈（0，16）时，s′（x）＜0；当x∈（16，+∞）时，s′（x）＞0，
因此，x=16是函数s（x）的极小值点，也是最小值点．
所以当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小．
答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值解决实际问题，属于中档题．