Question

已知a，b＞0，实数x，y满足不等式组

x+2y≤2 2x+y≤2 x≥0，y≥0

，则当

2a

a+b

+

b

a

取得最小值时，z=bx+ay取最大值的最优解为（　　）

• A、（0，0）
• B、（1，0）
• C、（0，1）
• D、（

  2

  3

  ，

  2

  3

  ）

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：根据基本不等式求出当

2a

a+b

+

b

a

取得最小值时的等价条件，利用线性规划的知识，利用数形结合，即可得到结论．

解答： 解：∵a，b＞0，
∴

2a

a+b

+

b

a

=

2a

a+b

+

b

a

+1-1=

2a

a+b

+

a+b

a

-1≥2

2a a+b • a+b a

-1=2

2

-1，
当且仅当

2a

a+b

=

a+b

a

，即（a+b）²=2a²时取等号，即a+b=

2

a，
则b=（

2

-1）a，则

b

a

=

2

-1，
由z=bx+ay得y=-

b

a

x+

z

a

=（1-

2

）x+

z

a

，
作出不等式组对应的平面区域，平移直线y=（1-

2

）x+

z

a

，
则当直线经过点A（0，1）时，直线y=（1-

2

）x+

z

a

的截距最大，
此时最优解为（0，1），
故选：C．

点评：本题主要考查线性规划的应用，利用基本不等式求出当

2a

a+b

+

b

a

取得最小值的条件，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度．