Question

解下列关于x的方程：
（1）2sinx+cosx=2；
（2）sin2x=sin²x；
（3）cosx+2=2tan²（

x

2

）

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）结合同角三角函数基本关系式求解，结合换元法进行求解；
（2）利用分解因式，然后，结合三角函数值的范围进行求解即可；
（3）利用二倍角公式进行化简求解．

解答： 解：（1）∵2sinx+cosx=2
∴cosx=2（1-sinx），
∵sin²x+cos²x=1，
∴sin²x+4（1-sinx）²=1，
∴5sin²x-8sinx+3=0，
∴sinx=1或sinx=

3

5

，
当sinx=1时，x=

π

2

+2kπ，（k∈Z），
当sinx=

3

5

时，x=arcsin

3

5

+2kπ或x=π-arcsin

3

5

+2kπ（k∈Z），
∴方程的解为：x=

π

2

+2kπ或x=arcsin

3

5

+2kπ或x=π-arcsin

3

5

+2kπ（k∈Z）；
（2）∵sin2x=sin²x
∴2sinxcosx=sin²x，
∴sinx（2cosx-sinx）=0，
∴sinx=0或2cosx-sinx=0，
当sinx=0时，x=kπ，（k∈Z），
当2cosx-sinx=0时，tanx=2，
∴x=arctan2+kπ，
∴方程的解为：x=kπ或x=arctan2+kπ，（k∈Z），
（3）∵cosx+2=2tan²（

x

2

），
∵tan²（

x

2

）=

1-cosx

1+cosx

，
∴cosx+2=2

1-cosx

1+cosx

，
∴cos²x+3cosx=0，
∴cosx（cosx+3）=0，
∵cosx+3≠0，
∴cosx=0．
∴x=

π

2

+kπ，k∈Z，
∴方程的解为：x=

π

2

+kπ，（k∈Z）．

点评：本题综合考查了三角函数基本关系式，三角公式等知识，二倍角公式及其运用等综合题目，属于中档题．