Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A=

2π

3

，b=3，△ABC的面积为

15 3

4

．
（Ⅰ）求边a的边长；
（Ⅱ）求cos2B的值．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）利用三角形面积公式求得c，然后利用余弦定理求得a．
（Ⅱ）利用余弦定理求得cosB的值，求得B，进而求得cos2B．

解答： 解：（Ⅰ）在△ABC中，A=

2π

3

，b=3，△ABC的面积为

15 3

4

．
∴S_△ABC=

1

2

b•c•sinA=

1

2

•3•c•

3

2

=

15 3

4

，
解得：c=5，
∴a=

b2+c2-2bccosA

=

9+25+2×3×5× 1 2

=7．
（Ⅱ）∵cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

49+25-9

2×7×5

=

13

14

，
∴cos2B=2cos²B-1=

71

98

．

点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理．利用正弦定理和余弦定理完成边角问题的转化．