Question

关于下列结论：
（1）平面内到两定点A（-2，0）和B（2，0）距离之和为4的点M的轨迹是椭圆；
（2）平面内与一个定点A（1，3）和一条定直线l：2x+3y-11=0距离相等的点M的轨迹是抛物线；
（3）在平面直角坐标系中，若方程m（x²+y²+2y+1）=（x-2y+3）²表示的曲线为椭圆，则实数m的取值范围是（

5

，+∞）；
（4）若不等式ax²+bx+c＞0的解集是{x|-4＜x＜1}，则不等式b（x²-1）+a（x+3）+c＞0的解集为{x|-

4

3

＜x＜1}；
（5）已知数列{a_n}满足a₁=33，a_n+1-a_n=2n，则

an

n

的最小值为

21

2

． 
其中正确的是（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）平面内到两定点A（-2，0）和B（2，0）距离之和为4的点M的轨迹是线段AB；
（2）点A（1，3）位于直2x+3y-11=0上，可得动点的轨迹为过A点与直线2x+y-4=0垂直的直线；
（3）先将方程化简，可得看成是轨迹上点到（0，-1）的距离与到直线x-2y+3=0的距离的比，利用曲线为椭圆，离心率0＜e＜1，即可求得m的取值范围；
（4）先解出b=3a，c=-4a，再解不等式b（x²-1）+a（x+3）+c＞0；
（5）由累加法求出a_n=33+n²-n，所以

an

n

=

33

n

+n-1，设f（n）=

33

n

+n-1，由此能导出n=5或6时f（n）有最小值，借此能得到

an

n

的最小值．

解答： 解：（1）平面内到两定点A（-2，0）和B（2，0）距离之和为4的点M的轨迹是线段AB，故不正确；
（2）∵点A（1，3）位于直2x+3y-11=0上，∴动点的轨迹为过A点与直线2x+y-4=0垂直的直线，故不正确；
（3）方程m（x²+y²+2y+1）=（x-2y+3）²可化为

x2+(y+1)2 |x-2y+3|

12+(-2)2

=

5 m

，可以看成是轨迹上点到（0，-1）的距离与到直线x-2y+3=0的距离的比，即为离心率．∵方程m（x²+y²+2y+1）=（x-2y+3）²表示的曲线为椭圆
∴0＜

5 m

＜1，∴m＞5，故不正确；
（4）由题意，

-4+1=- b a (-4)×1= c a

且a＜0，∴b=3a，c=-4a，∴不等式为3x²+x-4＜0，∴不等式b（x²-1）+a（x+3）+c＞0的解集为{x|-

4

3

＜x＜1}，正确；
（5）a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=2[1+2+…+（n-1）]+33=33+n²-n，∴

an

n

=

33

n

+n-1
设f（n）=

33

n

+n-1，令f′（n）=

-33

n2

-1＞0，则f（n）在（

33

，+∞）上是单调递增，在（0，

33

）上是递减的，∵n∈N₊，∴当n=5或6时f（n）有最小值．又∵

a5

5

=

53

5

，

a6

6

=

63

6

=

21

2

，∴

an

n

的最小值为

a6

6

=

21

2

，故正确．
故选：B．

点评：本题考查轨迹方程，考查命题真假判断，考查学生分析解决问题的能力，涉及知识点多，综合性强．