Question

如图，是棱长为的正方体，、分别是棱、上的动点，且．

（1）求证：；
（2）当、、、共面时，求：面与面所成二面角的余弦值．

Answer 1

（1）建立空间坐标系，利用向量垂直证明线线垂直；（2）

试题分析：（1）以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系 …1分，则、，设，则，        2分，
从而、                  3分，
则，所以      5分．
（2）易得，、 ，设平面的一个法向量为， …6分
依题意          8分，
所以              9分，
同理平面的一个法向量为    12分，
由图知，面与面所成二面角的余弦值    13分．
点评：求解和证明立体几何问题一方面可以直接利用几何方法，通过证明或找到线面之间的关系，依据判定定理或性质进行证明求解.利用空间向量法证明垂直，即证明向量的数量积等于0；若求二面角则通过两个半平面的法向量的夹角进行求解判断。