Question

（2011•重庆三模）已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的离心率e=

2 3

3

，其一条准线方程为x=

3

2

．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）如题20图：设双曲线C的左右焦点分别为A，B，点D为该双曲线右支上一点，直线AD与其左支交于点E，若

AE

=λ

ED

，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由题意可得，

c a = 2 3 3 a2 c = 3 2

可求a，c，由b²=c²-a²可求b，可求双曲线的方程
（II）由（I）知A（-2，0），设D（x₀，y₀），E（x₁，y₁）则由

AE

=λ

ED

可得x1=

λx0-2

1+λ

，y1=

λy0

1+λ

，结合E，D在双曲线上，可求x₀，结合双曲线的性质可求λ

解答：解（I）由题意可得，

c a = 2 3 3 a2 c = 3 2

∴

a= 3 c=2

∴双曲线的方程为

x2

3

-y2=1（4分）
（II）由（I）知A（-2，0），设D（x₀，y₀），E（x₁，y₁）
∴

AE

=(x1+2，y1)，

ED

=(x0-x1，y0-y1)
则由

AE

=λ

ED

可得x1=

λx0-2

1+λ

，y1=

λy0

1+λ

∵E在双曲线上
∴

x12

3

-y12=1
∴(-2+λx0)2-3(λy0)2=3(1+λ)2
∵D在双曲线
∴3y02=x02-3
代入上式可得，x0=

1-6λ

4λ

∵x0≥

3

=a
∴

1-6λ

4λ

≥

3

∴λ≤

1

6+4 3

=

3

3

-

1

2

∵D在双曲线的左支，点D在右支
∴0＜λ≤

3

3

-

1

2

（12分）

点评：本题主要考查了利用双曲线的性质求解双曲线的方程，双曲线的性质的应用，属于综合试题