Question

5．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱DD₁的中点，四棱锥E-ABCD的体积为$\frac{4}{3}$，求异面直线BE与B₁A₁所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）．

Answer 1

分析 求出正方体的棱长，找出异面直线BE与B₁A₁所成的角，然后求解即可．

解答 解：设正方体的棱长为：a，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱DD₁的中点，四棱锥E-ABCD的体积为$\frac{4}{3}$，则$\frac{1}{3}×{a}^{2}×\frac{a}{2}=\frac{4}{3}$，解得a=2，∵B₁A₁∥BA，∴异面直线BE与B₁A₁所成的角为∠ABE，
AE=$\sqrt{{2}^{2}+1}$=$\sqrt{5}$，tan∠ABE=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，∠ABE=$arctan\frac{\sqrt{5}}{2}$．
直线BE与B₁A₁所成的角的大小为$arctan\frac{{\sqrt{5}}}{2}$．

点评 本题考查异面直线所成角的求法，找出异面直线所成角的平面角是解题的关键．