Question

19．平面上的两个向量$\overrightarrow{OA}$和$\overrightarrow{OB}$满足|$\overrightarrow{OA}$|=a，|$\overrightarrow{OB}$|=b，且a²+b²=4，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，若向量$\overrightarrow{OC}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$（λ，μ∈R）．且（λ-$\frac{1}{2}$）²a²+（μ-$\frac{1}{2}$）²b²=1，则|$\overrightarrow{OC}$|的最大值是2．

Answer 1

分析 由条件即可得到|AB|=2，OA⊥OB，然后画出图形，并取AB中点D，从而可得出$\overrightarrow{DC}$=$（λ-\frac{1}{2}）\overrightarrow{OA}+（μ-\frac{1}{2}）\overrightarrow{OB}$，通过求${\overrightarrow{DC}}^{2}$即可求出$|\overrightarrow{DC}|=1$，这样点C便在以D为圆心，1为半径的圆上，从而得出OC为圆D的直径时$|\overrightarrow{OC}|$最大，并可得出该最大值．

解答 解：根据条件，|AB|=2，OA⊥OB，如图，取AB中点D，则：
$\overrightarrow{OD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）$；
∴$\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD}$=$（λ-\frac{1}{2}）\overrightarrow{OA}+（μ-\frac{1}{2}）\overrightarrow{OB}$；
∴${\overrightarrow{DC}}^{2}=（λ-\frac{1}{2}）^{2}{a}^{2}+（μ-\frac{1}{2}）^{2}{b}^{2}=1$；
∴|DC|=1；
∴C在以D为圆心，1为半径的圆上；
∴当OC为圆D的直径时，$|\overrightarrow{OC}|$最大，∴$|\overrightarrow{OC}|$的最大值为2．
故答案为：2．

点评 考查向量垂直的充要条件，向量加法的平行四边形法则，向量减法的几何意义，以及向量的数乘运算，向量数量积的运算，直径所对圆周角为直角．